Главная > Эвакуация  > Активная проводимость. Активная и реактивная проводимости определяются из условия равенства углов сдвига фаз Схема замещения ЛЭП


Активная проводимость. Активная и реактивная проводимости определяются из условия равенства углов сдвига фаз Схема замещения ЛЭП




Результаты расчетов длины векторов напряжения и токов и углов сдвига фаз использованы при построении векторной диаграммы электрической цепи (рис. 3.28).

3.14. Проводимости в электрических цепях синусоидального напряжения

При расчете электрических цепей однофазного синусоидального напряжения используются понятия активной, индуктивной реактивной, емкостнойреактивной иполной проводимостей.

Ветви электрической цепи, содержащие только активное сопротивление (рис. 3.3), характеризуются активной проводимостью g . Для ее расчета используется формула

Для ветви электрической цепи, содержащей идеализированный индуктивный элемент (см. рис. 3.6), вводится понятие индуктивной реактивной проводимости b L . Расчет проводимости

C x C

Ветви электрической цепи, содержащие катушки, замещенные последовательным соединением активного и индуктивного сопротивлений (см. рис. 3.12), характеризуются активной g ,

индуктивной реактивной b L и полной y проводимостями. Для их расчета в этом случае применяются следующие выражения:

r 2 + x L 2 .

Ветви электрической цепи, содержащие конденсаторы, замещенные последовательным соединением активного и емкостного сопротивлений (см. рис 3.16), характеризуются активной g , емкостной реактивной b C и полной y проводимостями. Для

расчета g , b C , y используются формулы

где z – полное сопротивление ветви.

y = 1 .

Полное сопротивление z

в этом случае следует рассчиты-

вать по выражению

z = r2 + (x

− x ) 2 .

Для ветвей электрических цепей, имеющих в своей структуре индуктивные и емкостные сопротивления (см. рис. 3.20), вводится понятие реактивной проводимости ветви. Реактивную проводимость принято обозначать буквой b , а для определения ее величины применяется формула

тивная проводимость ветви имеет емкостной характер.

3.15. Активные и реактивные составляющие токов

в электрических цепях однофазного синусоидального напряжения

Рассмотрим электрическую цепь (рис. 3.29), в которой активное и индуктивное сопротивления соединены последовательно и подключены к источнику однофазного синусоидального напряжения. Векторная диаграмма данной электрической цепи приведена на рис. 3.30.

Она построена для случая, когда начальная фаза напряжения Ψ u равна нулю. Длины векторов в масштабе соответствуют дей-

ствующим значениям напряжения и тока. При этом действующие значения напряжения итока рассчитываются по выражениям

r 2 + x L 2

Угол сдвига фаз ϕ между векторами напряжения и тока определяется из формулы

ϕ = arccos

Представим вектор тока в виде суммы двух векторов:

I а + I р .

Составляющая вектора тока I а совпадает по фазе с вектором напряжения и называется активной составляющей. Составляющая вектора тока I р отстает по фазе относительно вектора напряжения

на 90 градусов и называется индуктивной реактивной составляющей. Величины активной и реактивной составляющих тока находятся изрешения прямоугольного треугольника:

I а = I cos ϕ = U

U g ,

I sin ϕ = U

U b .

Представление тока I в виде двух составляющих позволяет от последовательной схемы замещения катушки (см. рис. 3.29) перейти к параллельной схеме замещения(рис. 3.31).

Активная составляющая тока I а обусловлена активной

проводимостью g , а индуктив-

Последовательная схема замещения конденсатора и векторная диаграмма, соответствующая ей, приведены на рис. 3.32, 3.33. Представление тока I в виде двух составляющих позволяет от последовательной схемы замещения конденсатора (см. рис. 3.32) перейтикпараллельной схеме замещения (рис. 3.34).

Активная

составляющая

обусловлена активной проводи-

мостью g , а емкостная реактивная

составляющая тока I р емкостной

реактивной проводимостью b C .

Активная

составляющая

совпадает по фазе с напряжением и

рассчитывается по формуле

Рис. 3.34. Параллельная

I а = I cos ϕ = U

U g (3.172)

схема замещения

конденсатора

Реактивная составляющая тока опережает по фазе вектор напряжения на 90 градусов, а величина этой составляющей на-

ходится из формулы

I sin ϕ = U

U b .

Полное сопротивление, входящее в выражения I а ,

I р , рас-

считывается по известной формуле (3.159)

z = r2 + x

Реактивная составляющая тока, опережающая по фазе вектор напряженияна 90 градусов, называетсяемкостнойсоставляющей.

Введение понятий активной, индуктивной, емкостной проводимостей и представление тока катушки и тока конденсатора в виде активных и реактивных составляющих позволяет производить расчеты активных и реактивных мощностей катушки и конденсатора через соответствующие проводимости и состав-

ляющие тока. Для этого используются формулы

P = U 2 g = UIа ,

U 2 b = UI

Рис. 3.35. Схема электрической цепи с параллельным соединением катушки и конденсатора

P , Q L , Q C , полученных при анализе электромагнитных процессов

в реальной катушкеиндуктивности иреальном конденсаторе.

3.16. Резонанс токов

В электрических цепях однофазного синусоидального напряжения, содержащих катушки индуктивности и конденсаторы, включенные параллельно, может возникать явление резонанса токов.

Для выяснения физической сущности данного явления рассмотрим электрическую цепь, содержащую источник однофазного синусоидального напряжения, катушку индуктивности и конденсатор (рис. 3.35).

Источник представлен

внешними зажимами, между которыми действует однофазное синусоидальное напряжение, мгновенное и

действующее значения которого равны соответственно u , U . Катушка индуктивности на схеме замещена активным сопротивлением r к и индуктивностью L , включенными последовательно. Конденсатор представлен схемой, содержащей активное сопротивление r C и емкость C , соединенными последовательно. При угловой частоте синусоидального напряжения ω индуктивное сопротивление катушки x L = ω L , а емкостное сопротив-

ление конденсатора x C = ω 1 C . Катушка и конденсатор включе-

ны параллельно и подключены к внешним зажимам источника электрической энергии. Мгновенные значения токов источника, катушки индуктивности и конденсатора i , i 1 , i 2 , а их действую-

щие значения I , I 1 , I 2 .

Резонансное состояние электрической цепи (см. рис. 3.35) наступает при выполнении равенства

b L 1 = b C 2 .

Данное равенство может быть переписано в виде

+ (ωL ) 2

+ (1 / ω C )2

Достижение резонанса токов в электрической цепи (см. рис. 3.35) возможно за счет регулирования частоты питающего напряжения f , посредством изменения индуктивности катушки

L или емкости конденсатора C . Резонансное состояние электрической цепи может быть достигнуто также одновременным регулированием двух или трех указанных параметров. Активное сопротивление катушки r к и активное сопротивление конденса-

тора r C весьма незначительны по величине, и поэтому вариант достижения резонанса токов за счет изменения величин активных сопротивлений r к и r C является маловероятным.

Векторная диаграмма электрической цепи (см. рис. 3.35), в которой наблюдается явление резонанса токов, приведена на рис. 3.36. Действующие значения токов катушки и конденсатора и углы сдвига фаз между вектором напряжения и векторами токов рассчитаны по формулам

I2

Arccos

Действующее значение напряжения источника электрической энергии определяется через амплитудное его значение по выражению

Если векторы токов I 1 , I 2 заменить векторами активных и

реактивных составляющих, то равенство (3.184) можно записать следующем образом:

I 1а + I 1р + I 2а + I 2р = I а + I р ,

где I а , I р – векторы активной и реактивной составляющих тока источника электрической энергии,

I а = I а1 + I а2 ,

I р = I р1 + I р2 .

Активная составляющая тока катушки и активная составляющая тока конденсатора совпадают по фазе (см. рис. 3.36), и поэтому величина активной составляющей тока источника рассчитывается по выражению

Реактивная составляющая тока катушки и реактивная составляющая тока конденсатора сдвинуты по фазе во времени на 180 градусов. Вследствие этого величина реактивной составляющей тока источника электрической энергии равна разности реактивных составляющих тока катушки и конденсатора:

В режиме резонанса токов эквивалентная реактивная проводимость электрической цепи равна нулю, так как b L 1 = b C 2 . Следовательно, реактивная составляющая тока источника электрической энергии I р также равна нулю. Источник в режиме резо-

нанса токов вырабатывает ток, величина которого равна сумме активных составляющих токов ветвей и является минимальной.

Проводимости

Комплексной проводимостью называется отношение комплексного тока к комплексному напряжению

где y=1/z - величина обратная полному сопротивлению, называется полной проводимостью.

Комплексная проводимость и комплексное сопротивление взаимно обратны. Комплексную проводимость можно представить в виде

где - действительная часть комплексной проводимости, называется активной проводимостью; - значение мнимой части комп-лексной проводимости, называется реактивной проводимостью;

Из (3.30) и ( 3.29) следует, что для схемы, представленной на рис. 3.12 , комплексная проводимость

и называются соответственно активной, индуктивной и емкостной проводимостями.

Реактивная проводимость

Индуктивная и емкостная проводимости - арифметические величины, а реактивная проводимость b - алгебраическая величина и может быть как больше, так и меньше нуля. Реактивная проводимость b ветви, содержащей только индуктивность, равна индуктивной проводимости , а реактивная проводимость b ветви, содержащей только емкость, равна емкостной проводимости с обратным знаком, т. е. .

Сдвиг по фазе между напряжением и током зависит от соотношения индуктивной и емкостной проводимостей. Для схемы по рис. 3.12 на рис. 3.14 представлены векторные диаграммы для трех случаев, а именно При построении этих диаграмм начальная фаза напряжения принята равной нулю, поэтому , как это следует из ( 3.28), равны и противоположны по знаку ().

Рассматривая схему на рис. 3.12 в целом как пассивный двухполюсник, можно заметить, что при заданной частоте она эквивалентна в первом случае параллельному соединению сопротивления и индуктивности, во втором - сопротивлению и в третьем - параллельному соединению сопротивления и емкости. Второй случай называется резонансом. При заданных L и С соотношение между зависит от частоты, а поэтому от частоты зависит и вид эквивалентной схемы.

Обратим внимание на то, что в схеме рис. 3.12 каждая из параллельных ветвей содержит по одному элементу. Поэтому получилось такое простое выражение для У, в которое проводимости элементов входят как отдельные слагаемые.

Заметим, что обозначения применяются не только для сопротивлений и проводимостей, но и для элементов схемы, характеризуемых этими величинами. В таких случаях элементам схемы дают те же самые наименования, какие присвоены величинам, которые обозначаются этими буквами. Комплексные сопротивления или проводимости как элементы схемы имеют условное обозначение в виде прямоугольника (см. рис. 3.1). Точно так же обозначают реактивные сопротивления или проводимости, если хотят отметить, что они могут быть как индуктивными, так и емкостными сопротивлениями или проводимостями.

Главная > Книги > Электроника

2.8. Параллельное соединение R, L, С

Если к зажимам электрической цепи, состоящей из параллельно соединенных элементов R, L, С (рисунок 2.18), приложено гармоническое напряжение u = Umcosωt , то гармонический ток, проходящий через эту цепь, равен алгебраической сумме гармонических токов в параллельных ветвях (первый закон Кирхгофа): i = iR + iL + iC .

Ток iR в сопротивлении R совпадает по фазе с напряжением и , ток iL в индуктивности L отстает, а ток iC в емкости С опережает напряжение на π /2 (рисунок 2.19).

Следовательно, суммарный ток i в цепи равен

(2.20)

Уравнение (2.20) представляет собой тригонометрическую форму записи первого закона Кирхгофа для мгновенных значений токов. Входящая в него величина называется реактивной проводимостью цепи , которая в зависимости от знака может иметь индуктивный (b > 0) или емкостный (b < 0) характер. В отличие от реактивной проводимости b активная проводимость g = l/R всегда положительна.

Для нахождения Im и φ воспользуемся векторной диаграммой, соответствующей уравнению (2.20) (рисунок 2.20, а и б). Прямоугольный треугольник с катетами IR и и гипотенузой I называется треугольником токов. Треугольник токов построен на рисунке 2.20, а для b >0 , а на рисунке 2.20, б − для b < 0 .

Из треугольника токов следует, что или I = yU; Im=yUm

Здесь (2.21)

полная проводимость рассматриваемой параллельной цепи.

Активная, реактивная и полная проводимости относятся к числу основных понятий, применяемых в теории электрических цепей.

Угол фазового сдвига тока i относительно напряжения и равен:

. (2.22)

Если задано напряжение и = Umcos(ωt + y) на зажимах цепи с параллельно соединенными R, L и С , то ток определяется по формуле

i = yUmcos(ωt + y - φ ) .

Угол φ , как и в предыдущем случае, отсчитывается на временной диаграмме ωt от напряжения к току, а на векторной диаграмме - от тока к напряжению; он является острым или прямым углом

|φ | .

Угол φ положителен при индуктивном характере цепи, т.е. при b > 0 ; при этом ток отстает по.фазе от напряжения. Угол φ отрицателен при емкостном характере цепи, т.е. при b < 0 ; при этом ток опережает по фазе напряжение. Ток совпадает с напряжением по фазе при b = bR - bC = 0 , т.е. при равенстве индуктивной и емкостной проводимостей. Такой режим работы электрической цепи называется резонансом токов.

Из (2.21) и (2.22) следует, что активная и реактивная проводимости цепи связаны с полной проводимостью формулами:

g = ycosφ ; b = уsinφ . (2.23)

Умножив правые и левые части выражений (2.23) на действующее значение напряжения U , получим действующие значения токов в ветвях с активной и реактивной проводимостями изображаемые катетами треугольника токов и называемые активной и реактивной составляющими тока:

Ia = gU = ycosφ U = Icosφ ;

Ip = bU = ysinφ U = Isinφ .

Как видно из треугольников токов и уравнений (2.24), активная и реактивная составляющие тока связаны с действующим значением суммарного тока формулой

.

Разделив стороны треугольника токов на U , получим прямоугольный треугольник проводимостей, подобный треугольнику напряжений (рисунок 2.21, а, б ).

Треугольник проводимостей служит геометрической интерпретацией уравнений (2.21) и (2.22); активная проводимость g откладывается по горизонтальной оси вправо, а реактивная проводимость b в зависимости от ее знака откладывается вниз (b > 0) или вверх (b < 0) .

Угол φ в треугольнике проводимостей отсчитывается, от гипотенузы у к катету g , что соответствует отсчету φ в треугольнике токов от I = yU к Ia = gU .

Для характеристики конденсаторов, представляемых цепью с емкостной и активной проводимостями, применяется понятие добротность конденсатора QC = b/g = ωCR , которое равнозначно тангенсу угла |φ | конденсатора. Обратная величина называется тангенсом угла диэлектрических потерь конденсатора tgδ = l/QC (угол диэлектрических потерь δ дополняет угол |φ | до 90°).

Чем больше сопротивление R , тем больше (при прочих равных условиях) добротность конденсатора и тем меньше угол потерь.

Добротность конденсаторов для разных частот и диэлектриков колеблется в широких пределах, примерно от 100 до 5000. Слюдяные конденсаторы обладают большей добротностью, чем керамические. Добротность конденсаторов, применяемых в высокочастотной технике, примерно в 10 раз превышает добротность индуктивных катушек.

В курсе общей физики для расчета электрических цепей используют, в основном, законы Ома и Кирхгофа, в которые входят напряжения, токи и сопротивления. Однако для расчета сложных электрических цепей, и в особенности цепей переменного тока, целесообразно вместо сопротивления использовать проводимость.

Проводимость в цепи постоянного тока g - величина, обратная сопротивлению

Единицей измерения проводимости в СИ является сименс (в честь немецкого электротехника XIX в. Э. В. Сименса).

1 Сим - это проводимость проводника сопротивлением 1 Ом.

В цепях переменного тока, как известно, существует три типа сопротивлений: активное R, реактивное и полное г. По аналогии с этим введено и три типа проводимостей: активная g, реактивная b и полная у. Однако только полная проводимость у является величиной, обратной полному сопротивлению :

Для введения активной g и реактивной b проводимостей рассмотрим цепь переменного тока из последовательно соединенных активного R и индуктивного сопротивлений (рис. 1-25, а). Построим для нее векторную диаграмму (рис. 1-25, б). Ток в цепи разложим на активную и реактивную составляющие и от полученного треугольника токов перейдем к треугольнику сопротивлений (рис. 1-25, в). Из последнего имеем:

Из векторной диаграммы (см. рис. 1-25, б) с учетом формулы (1.30) имеем:

где активная проводимость,

где реактивная проводимость.

Теперь установим взаимосвязь между проводимостями. Для рассматриваемой цепи имеем:

Подставив значения соответственно из соотношений (1.31) и (1.32), получим:

где полная проводимость цепи.

По аналогии с треугольником сопротивлений (рис. 1-25, в) строим треугольник проводимостей (рис. 1-25, г). По аналогии с индуктивным и емкостным сопротивлениями различают индуктивную и емкостную проводимости.

В случае разветвленной цепи (рис. 1-26, а) схему легко преобразовать в так называемую эквивалентную схему (рис. 1-26, б), в которой две ветви заменены одной с соответствующими эквивалентными активным и

реактивным сопротивлениями. Расчет последних сопротивлении, как и других параметров схемы, проще с использованием проводимостей. Установим основные закономерности для проводимостей в разветвленной цепи.

Выразим общий ток через его составляющие или эквивалентные проводимости:

В свою очередь, активная составляющая общего тока равна сумме активных составляющих токов ветвей:

т. е. эквивалентная активная проводимость разветвления равна арифметической сумме активных проводимостей ветвей.

Так как реактивные составляющие ветвей рассматриваемой цепи находятся в противофазе, то для реактивной составляющей общего тока имеем:

т. е. эквивалентная реактивная проводимость разветвления равна алгебраической сумме реактивных проводимостей параллельных ветвей, при этом берется со знаком «плюс», а - со знаком «минус».