Открытый урок самостоятельное изучение темы логарифмы. Урок "Логарифмы и их свойства"(10 класс)
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 2 р.п Сенной
вольского района саратовской области»
Методическая разработка
урока математики в 10 классе
по теме
«Логарифм числа. Свойства логарифмов»
Разработала
учитель математики
МОУ «СОШ № 2 р.п. Сенной
Вольского района
Саратовской области»
Брюханова Наталья Ивановна
р.п. Сенной Вольского района Саратовской области
2018 г.
Аннотация
Методическая разработка урока математики «Логарифм числа и его свойства» с применением технологии проблемного обучения. Данная разработка предназначена для изучения темы «Логарифм числа и его свойства» обучающимися 10-11 классов общеобразовательных учреждений. Материал будет полезен учителям математики, преподающих математику в старших классах. Урок построен с применением методов проблемного обучения. Тема «Логарифмы и их свойства» входит в программу по математике в 10 классе. Задания по этой и последующим «Логарифмическая функция», «Решение логарифмических уравнений и неравенств», «Производная логарифмической функции» темам обязательно будут в ЕГЭ. Эта тема является введением в последующие, следовательно, именно ее успешное понимание и отработка послужат базой под изучение других.
Для того чтобы установить связи преемственности в изучении нового материала с изученным, включить новые знания в систему ранее усвоенных, повторяется тема «Показательная функция», которая подготавливает детей к восприятию нового материала.
Исходя из целей урока были спланированы следующие моменты: исторический материал и связь с окружающим миром - для развития интереса к предмету; повторение - как теоретическая основа ранее изученного материала; изучение нового материала базируется на определении и свойствах показательной функции; усвоение нового материала идет самостоятельно, через создание проблемной ситуации; задания дифференцированные, составленные для групп учащихся, что способствует созданию ситуации выбора, успеха, сотрудничества друг с другом, учебной самостоятельности, для учащихся с различными каналами восприятия использованы разнообразные задания и иллюстративный материал; группы формируются по уровню развития и способностей, используя диагностику учебных возможностей.
Методическая разработка основывается на учебнике для базового и профильного обучения: Алгебра и начала математического анализа 10 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни/ (Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин); под ред. А. Б. Жижченко. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2010.-368 с.: ил.- ISBN 978-5-09-022771-1.
Цели урока: научиться находить логарифм по основанию а числа, представленного в виде степени с основанием а , записывать числа в виде логарифма с основанием а , упрощать выражения пользуясь основными логарифмическими тождествами, а также логарифмировать выражения по указанному основанию.
Задачи урока:
Образовательные: повторить знания, полученные на предыдущих занятиях по теме «Показательная функция»; познакомить с понятием логарифма и его свойствами; установить связи преемственности в изучении нового материала с изученным, включить новые знания в систему ранее усвоенных; закрепить изученный на этом уроке материал «Логарифмы и их свойства».
Воспитательные: воспитывать стремление к достижению цели, умение доводить дело до конца; воспитывать личную ответственность за порученное дело, добросовестное выполнение своих обязанностей; воспитывать дисциплинированность, организованность, общественную активность; формировать культурные потребности;
Развивающие: развивать умственные силы и познавательные способности учащихся; развивать потребность в образовании, самообразовании, постоянном пополнении своих знаний, расширении общего кругозора; развивать творческое мышление.
Обучающийся должен знать: обозначение определение логарифма числа, основное логарифмическое тождество; три основных свойства логарифма.
Обучающийся должен уметь: выполнять преобразования выражений, содержащих логарифмы; находить логарифм числа, применять свойства логарифмов при логарифмировании.
Тип урока : комбинированный, урок изучения нового учебного материала. Форма проведения урока: фронтальная, работа в парах.
Основные методы обучения: фронтальный, проблемный, частично-поисковый, наглядно-иллюстративный, информационно-коммуникационная технология.
Оборудование: компьютер, проектор, презентация к уроку, раздаточный материал.
Структура урока :
Организационный момент.
Актуализация опорных знаний.
Мотивация учебной деятельности, сообщение темы, цели урока.
Изучение нового материала.
Физминутка для глаз.
Этап закрепления знаний.
Итоги урока.
Домашнее задание.
Рефлексия.
Ход урока.
1. Организационный момент (приветствие; проверка отсутствующих; проверка готовности к уроку)
Французский писатель Анатоль Франс (1844-1924 гг) заметил: «Что учиться можно только весело….Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом».
Последуем совету писателя: будем на уроке активны, внимательны, будем «поглощать» знания с большим желанием, ведь они скоро нам понадобятся для успешной сдачи экзамена.
2. Актуализация опорных знаний.
Проводится фронтальный опрос (обучающиеся работают в парах ): математическое лото по теме «Решение показательных уравнений»
(приложение 1)
3. Мотивация учебной деятельности, сообщение темы, цели урока
Мотивация может быть основана на необходимости решения уравнения вида a x = b при условии, что правая часть не представима в виде степени. Такие уравнения могут быть получены при решении следующих задач:
1. Однолетнее растение дает 100 семян, из которых на следующий год прорастает половина. Через сколько лет прорастут 10000 семян?
2. Банк начисляет на вклад 10% в год. Через какое время вклад вырастет в 10 раз?
Математические модели данных задач имеют следующий вид: 50 x =10000; 1,1 x = 10
Проблема , которую предстоит решить, можно сформулировать следующим образом: «Как с достаточной степенью точности решить уравнение вида a x = b ?».
Тема нашего урока «Логарифм числа. Свойства логарифмов». Почему обращение к данной теме является актуальным на этапе итогового повторения?
Возможные ответы:(логарифмы широко представлены в материалах ЕГЭ, знания окажутся востребованы для дальнейшего обучения в высших учебных заведениях).
Давайте вместе с вами определим цели нашего урока.
Цель урока: научиться находить логарифм по основанию а числа, представленного в виде степени с основанием а, записывать числа в виде логарифма с основанием а, упрощать выражения пользуясь основными логарифмическими тождествами, а также логарифмировать выражения по указанному основанию.
4. Изучение нового материала
Эвристическая беседа с использованием наглядных материалов:
Решаем показательное уравнение 2 x =8 . Так как 8 = 2 3 , то 2 х = 2 3 . Уравнение имеет единственное решение х=3. А теперь рассмотрим аналогичное уравнение 2 x =6.
Учащиеся с преподавателем ищут ответы на следующие вопросы:
Что представляет собой левая часть уравнения?
Что представляет собой правая часть уравнения?
Какие способы решения уравнений известны?
В чем заключается графический способ решения уравнения?
Применяя графический способ решения, по чертежу устанавливаем, что уравнение так же имеет единственное решение (по чертежу видим, что он заключен в промежутке от 2 до 3). Однако в отличие от предыдущего уравнения это решение является числом иррациональным. Поэтому для обозначения такого корня вводится новое понятие и новый символ - логарифм.
Очень часто приходится решать подобную задачу: известно, что a x = b . Необходимо найти показатель степени х, то есть решать задачу, обратную возведению числа в степень. При нахождении этого показателя степени х и возникает понятие логарифма числа b по основанию а. Обозначается x = log a b . Даем определение логарифма.
Далее, анализируя общий вид уравнения a x = b , устанавливаем, каким условиям должны удовлетворять параметры а и b ?
Определение: Логарифмом числа по основанию называется показатель степени, в которую надо возвести основание а , чтобы получить число b. Это число обозначается символом log a b .
Из определения следует основное логарифмическое тождество .
Это равенство называется основным логарифмическим тождеством.
Операцию нахождения логарифма числа называют логарифмированием.
Объяснение свойств логарифмов
Рассмотрим основные свойства логарифмов.
Пример:
Пример:
Пример:
4. Логарифм произведения положительных чисел равен сумме логарифмов множителей.
где а > 0, а≠ 0, b >0, c >0.
На примере посмотрим,как применяется данное свойство.
1).
Рассмотрим свойство:
5. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя.
Где a >0, a ≠ 0, b >0, c > 0.
Примеры:
1) .
6) .
6. Логарифм степени с положительным основанием равен показателю степени, умноженному на логарифм основания.
Где a > 0, a ≠ 0, b >0 ,
5. Физминутка для глаз.
6. Этап закрепления знаний.( Решение задач с целью усвоения понятия логарифма)
1)Установите соответствие между первым и вторым столбцами, во 2 столбике есть ошибки, которые нужно устранить
Проверка по образцу. За каждый правильный ответ 1 балл.
Ответы.
2)Историческая справка. Вычисление логарифмов .(заранее подготовленное сообщение одного из учащихся)
Более 300 лет логарифмы использовались для облегчения вычислений. Их основное достоинство — способность сводить умножение к сложению. Были составлены обширные таблицы логарифмов чисел, с помощью которых можно легко переходить от чисел к их логарифмам и обратно.
Все таблицы логарифмов до 1950 г. являлись перепечаткой или сокращением таблиц Генри Бриггса (1561 —1630)
За 300 лет не нашлось никого, кто повторил бы эту работу.. Любопытно, что немного раньше Бриггса таблицу натуральных логарифмов составил Джон Непер (1550—1617)
Изобретатель первых логарифмических таблиц, Непер, так говорит о своих побуждениях: « Я старался, насколько мог и умел, отделяться от трудности и скуки вычислений, докучность которых отпугивает весьма многих от изучения математики»
В самом деле, логарифмы чрезвычайно облегчают и ускоряют вычисления, не говоря уже о том, что они дают возможность производить такие операции, выполнение которых без их помощи очень затрудни- тельно (извлечение корня любой степени).
Не без основания писал Лаплас, что «изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких меся- цев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов». Великий математик говорит об астроно- мах, так как им приходится делать особенно слож- ные и утомительные вычисления. Но слова его с пол- ным правом могут быть отнесены ко всем вообще, кому приходится иметь дело с числовыми выклад- ками.
3) Записать следующие равенства в виде показательных:
При выполнении задания мы встретились с логарифмом, имеющим основанием число 10. Такие логарифмы называются десятичными и имеют специальное обозначение lg. Например: lg 100 = 2, .
4) Записать числа -3, -1, 0, 1, 3 в виде логарифма с основанием 2.
5) Найдите х:
Решение задач с целью усвоения свойств логарифма.
Найдите значение выражения:
Для тех, кто быстро и верно решает, подготовлены дополнительные задания на карточках:
Вычислите:
6) Это интересно.
Этой головоломкой развлекались математики в Одессе. Предлагается задача: любое данное число записать с помощью трех двоек и математических символов.
Решение. Возьмем, например, число 
, так как
Тема урока: Логарифмы и их свойства.
Цель урока:
- Образовательная – сформировать понятие логарифма, изучить основные свойства логарифмов и способствовать формированию умения применять свойства логарифмов при решении заданий.
- Развивающая – развивать логическое мышление; технику вычисления; умение рационально работать.
- Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к математике, воспитывать чувство самоконтроля, ответственности.
Тип урока : Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация "Логарифмы и их свойства", раздаточный материал.
Учебник: Алгебра и начала математического анализа,10-11. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и др., Просвещение, 2014.
Ход урока:
1. Организационный момент: проверка готовности учащихся к уроку .
2. Повторение пройденного материала.
Вопросы учителя:
1) Дать определение степени. Что называется основанием и показателем? (Корень n-ой степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а . 3 4 = 81.)
2) Сформулируйте свойства степени.
3. Изучение новой темы.
Тема сегодняшнего урока - Логарифмы и их свойства (откройте тетради и запишите дату и тему).
На этом уроке мы познакомимся с понятием «логарифм», также рассмотрим свойства логарифмов.
Зададим вопрос:
1) В какую степень нужно возвести 5, чтобы получить 25? Очевидно, во вторую. Показатель степени, в которую нужно возвести число 5, чтобы получить 25, равен 2.
2) В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 27? Очевидно, в третью. Показатель степени, в которую нужно возвести число 3, чтобы получить 27, равен 3.
Во всех случаях мы искали показатель степени, в которую нужно что-то возвести, чтобы что-то получить. Показатель степени, в которую нужно что-то возвести называется логарифмом и обозначается log.
Число, которое мы возводим в степень, т.е. основание степени, называется основанием логарифма и записывается в нижнем индексе. Затем пишется число, которое мы получает, т.е. число, которое мы ищем: log 5 25=2
Эта запись читается так: «Логарифм числа 25 по основанию 5». Логарифм числа 25 по основанию 5- это показатель степени, в которую нужно возвести 5, чтобы получить 25. Этот показатель равен 2.
Аналогично разберём второй пример.
Дадим определение логарифма.
Определение . Логарифмом числа b>0 по основанию a>0, a ≠ 1 называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b .
Логарифмом числа b по основанию a обозначается log a b.
История возникновения логарифма:
Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) и математиком Иостом Бюрги (1552-1632).
Бюрги пришел к логарифмам раньше, но опубликовал свои таблицы с опозданием (в 1620г.), а первой в 1614г. появилась работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов».
С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением – нашей десятичной системой нумерации.
Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры. Теперь ее вытеснили калькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы созданы ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы.
Рассмотрим примеры:
log 3 27=3; log 5 25=2; log 25 5=1/2;
Log 5 1/125 =-3; log -2 (-8)- не существует; log 5 1=0; log 4 4=1
Рассмотрим такие примеры:
1 0 . log a 1=0, а>0, a ≠ 1;
2 0 . log a а=1, а>0, a ≠ 1.
Эти две формулы являются свойствами логарифма. Ими можно пользоваться при решении задач.
Как перейти из логарифмического равенства к показательному? log а b=с, с – это логарифм, показатель степени, в которую нужно возвести а , чтобы получить b . Следовательно, а степени с равен b: а с = b.
Выведем основное логарифмическое тождество: а log a b = b. (Доказательство приводит учитель на доске).
Рассмотрим пример.
5 log 5 13 =13
Рассмотрим ещё важные свойства логарифмов.
Свойства логарифмов:
3°. log а ху = log а х + log а у.
4°. log а х/у = log а х - log а у.
5°. log а х p = p · log а х, для любого действительного p.
Рассмотрим пример на проверку 3 свойства:
log 2 8 + log 2 16= log 2 8∙16= log 2 128=7
3 +4 = 7
Рассмотрим пример на проверку 5 свойства:
3 ∙ log 2 8= log 2 8 3 = log 2 512 =9
3∙3 = 9
4.Закрепление.
Задание 1. Назовите свойство, которое применяется при вычислении следующих логарифмов, и вычислите (устно):
- log 6 6
- log 0,5 1
- log 6 3+ log 6 2
- log 3 6- log 3 2
- log 4 4 8
Задание 2.
Перед вами 8 решённых примеров, среди которых есть правильные, остальные с ошибкой. Определите верное равенство (назовите его номер), в остальных исправьте ошибки.
- log 2 32+ log 2 2= log 2 64=6
- log 5 5 3 = 2;
- log 3 45 - log 3 5 = log 3 40
- 3∙log 2 4 = log 2 (4∙3)
- log 3 15 + log 3 3 = log 3 45;
- 2∙log 5 6 = log 5 12
- 3∙log 2 3 = log 2 27
- log 2 16 2 = 8.
Улан-Удэнский институт железнодорожного транспорта -
филиал ФГБОУ ВПО «ИрГУПС»
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
Стогова О.О.
Улан - Удэнского колледжа железнодорожного транспорта
Рецензенты –– Мартынова Т.Ю., преподаватель высшей квалификационной категории Улан-Удэнского колледжа железнодорожного транспорта, методист.
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
открытого занятия по математике
по теме «Логарифмы и их свойства»
Стогова О.О.
Пояснительная записка
Данное занятие рассматривается в разделе курса алгебры «Корни, степени и логарифмы» и является последним занятием по теме «Логарифмы и их свойства». Эта тема помогает дальнейшему развитию пространственного представления и изобразительных умений; логического мышления и речи; умения проводить систематизацию.
В ходе занятия формируется и совершенствуется математический язык (словесный, символический); качества личности, необходимые для жизни в современном мире (ясность, точность мысли, интуиция); отношение к математике как к части общечеловеческой культуры. На занятии ведется повторение определения логарифма, свойств логарифма, формул применяемых для преобразований выражений, с опорой на ранее изученный материал степени и корни; при решении показывается связь между данными темами, а также связь темы с внешним миром. Последнее является важным звеном в сознательном восприятии учебного материала. Для обеспечения оптимального взаимодействия между преподавателем и студентами на занятии предусмотрены: организация проблемного диалога; использование «готовых» знаний; применение обучающих серий; использование кроссворда, таблиц; компьютерная презентация; самостоятельная работа; работа в парах; в группе, само- и взаимоконтроль, тестирование.
Для поддержания интереса и устойчивой концентрации внимания предусмотрена смена видов деятельности: фронтальная работа – учебный диалог; индивидуальная работа – работа в паре или группе; компьютерная презентация – знакомство с новым материалом и новыми понятиями; самостоятельная работа – закрепление материала; работа в парах и в группах – решение задач; компьютерная презентация – связь с реальным миром.
Контроль над деятельностью студентов в ходе занятия осуществляется со стороны преподавателя, предусмотрены самоконтроль, самооценивание и взаимооценивание.
Технологическая карта занятия
Дисциплина: математика группа ЭПСл-13143
Преподаватель: Стогова Ольга Олеговна
Тема: Свойства логарифма
Тип занятия:
Вид/ Форма: занятие-практикум/ фронтальная, групповая, индивидуальная, парная.
Цель:
Образовательная
Развивающая : развивать навыки самоконтроля, логическое мышление, пространственное восприятие, познавательный интерес, математически грамотную речь, прививать любовь и бережное отношение к природе;
Воспитательная : совершенствовать навыки самостоятельной работы, воспитывать внимание, аккуратность, усидчивость.
информационно – иллюстративный; проблемный диалог; дидактическая игра, самостоятельная работа, элементы информационных технологий.
В результате проведения занятия формируются следующие компетенции:
Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество;
Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личного роста.
Самостоятельно определять задачи профессионального и личного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение профессионального и личностного развития.
Работать в коллективе и команде, эффективно общаться, брать на себя ответственность за работу членов команды, результат выполнения заданий.
После изучения данной темы студент должен
Знать: определение логарифма, логарифмическое тождество, свойства логарифма степени и корня, основные формулы применяемые для решения и преобразований.
Уметь: применять свойства и определения при решении, вычислении, упрощении, нахождении значений логарифмических выражений.
Обеспечение занятия:
ТСО, раздаточный материал и наглядные пособия:
Презентации по теме, лист самооценки (для каждого студента), плакат с кроссвордом, тест для самостоятельной работы, мультимедийный пректор, ноутбук, раздаточный материал.
2.Используемая литература:
1. Богомолов Н.В. Математика: учебник для бакалавров. М.: Юрайт, 2013.
2. Богомолов Н.В.Практические занятия по математике. М.: Юрайт, 2013.
3.Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.Учебник.,2015г
4.Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа.
Задачник.,2015г
Мотивационный компонент занятия: осознание значимости изучаемого материала, включение студентов в учебную деятельность, необычные элементы обучения, осознанное стремление работать вместе с другими, хорошо и быстро получать нужный всем результат
Междисциплинарные связи: алгебра, физика, астрономия
Внутри дисциплинарные связи:
Структура занятия:
Организационный этап (2мин.)
Приветствие, работа с журналом
Сообщение темы, целей, постановка учебных задач
Мотивация
Основной этап (84 мин.)
Актуализация знаний (17 мин)
Проверка домашнего задания(10 мин);
Интеллектуальная разминка(разгадывание кроссворда)
(работа в группе, по рядам)(7);
2.Формирование знаний, умений (17)
Проверка теоретических знаний (собери определение)(5)
Проверка свойств логарифмов(найди пару)(8)
3.Этап закрепление материала (50 мин.)
Дидактическая игра «Путешествие солнечной системе»(22)
Решение тестовой работы(12)
Найди ошибку(4)
Знакомство с дополнительным материалом.(12)
С помощью презентации «Дополнительная информация о логарифмах»,
рассматриваем о логарифмах в природе и других науках
Заключительный этап (4мин.)
Рефлексия
Домашнее задание
Итог занятия.
Тема: Логарифмы и их свойства
Тип занятия: комплексное применение знаний и умений
Вид/ Форма: занятие-практикум/ фронтальная, групповая, индивидуальная, коллективная.
Цель:
Образовательная обобщить, систематизировать и закрепить теоретические знания по данной теме и продолжить применение знаний при решении задач.
Развивающая : развивать сознательное восприятие учебного материала, зрительной памяти, развивать навыки самообучения, самоорганизации, самоконтроля, логическое мышление, познавательный интерес, математически грамотную речь, способствовать развитию творческой деятельности студентов.
Воспитательная : совершенствовать навыки самостоятельной работы, воспитание познавательной активности, воспитать у студентов любовь и уважение к предмету, научить видеть в ней не только строгость, сложность, но и логичность, простоту и красоту.
Применяемые методы, педагогические технологии:
Коммуникативный, информационно – иллюстративный; проблемный диалог; метод «неоконченных решений», самостоятельная работа, элементы информационных технологий, систематизирующий и контрольный.
Ход занятия.
I . Организационный этап.
1)Сообщаю тему, цель занятия и основные задачи (слайды 1,2)
Дорогие ребята, тема нашего занятия «Логарифмы, их свойства». На уроке мы должны систематизировать знания по этой теме, продолжить решения задач, рассмотреть нестандартные, практические задачи.
Я надеюсь на ваше внимание и активность на уроке, а также надеюсь, что занятие пройдет интересно и с пользой для всех нас. Откройте тетради, запишите число, тему. Обратите внимание на материалы на ваших столах. Начнем с того, что подпишем таблицу самооценки, в ней прописаны этапы для оценивания, и еще прошу обратите внимание на листы с лесенкой. Прочитайте внимательно, постарайтесь максимально честно зрительно поставить себя(т. е. свои знания по теме) на ступеньке этой лесенки.
Таблица самооценки студента Ф И:
Оценить работу на занятии по пятибалльной системе, по следующим этапам:
Определи свое место на этой лестнице
а) в начале сегодняшнего занятия ;
б) в конце сегодняшнего занятия ;
II . Основной этап.
2)Проверка домашней работы.
Домашнее задание состоит из четырех заданий, решение заданий ребята заранее готовят на доске, выходят по одному и каждое задание объясняют.
1.Вычислите:
0,7(2 + 
= 2,1
1) ; 2)2+ ; 3) 4) 3 = 2,1
Вычислите:
Решение: выполняем по действиям
1)
2)
3) Упростите выражение:
4) Найти значение выражения:
= + = 6+8 = 14
Решение: выполняем по действиям
1)
; 2)
; 3)
4)
Студенты проверив свое решение, ставят себе оценку за домашнее задание в таблицу самооценки.
3)Интеллектуальная разминка:
разгадывание кроссворда, состоящего из вопросов на знание основных математических понятий, определение и свойств логарифма, исторических моментов.
Работа выполняется в паре, осуществляется на листах и затем проверяется на большом плакате. Подводим итог этому этапу по рядам, какой ряд дал больше правильных ответов.
Материал для интеллектуальной разминки:
4)Собери определение логарифма или рассматриваемые три теоремы.
Определение или теорема дается в разрезанном виде по словам, каждая группа(4 человека) собирает данное им задание. Проверяем с помощью слайдов (3,4,5,6).Преподаватель, вместе со студентами анализирует работу каждой группы и затем они выставляют себе оценку в таблице за данный этап урока.
1)Логарифмом положительного числа в по положительному и отличному от1 основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести число а , чтобы получить число в .
2)Логарифм произведения двух положительных чисел равен сумме логарифмов этих чисел
3)Логарифм частного (где - положительные числа, причем ) равен разности логарифмов числителя и знаменателя
log a (b: c) = log a b – log a c
4)Логарифм степени (где положительные числа и )
равен произведению показателя степени на логарифм основания степени
5)Проверка теоретических знаний, основных формул, «Найди пару»
Данное задание выполняется по теме «Логарифмы и их свойства», осуществляется так: для определения или формулы найти продолжение. Выполненная работа проверяется взаимопроверкой, с выставлением оценки в таблицу самооценки.
5) Дидактическая игра « Путешествие по солнечной системе».
Этот этап урока имеет свое название «Путешествие по Солнечной системе». Давайте вспомним сколько планет в Солнечной системе? Всего 9 планет. Они обозначены квадратиками на приведенной схеме. От каждого квадрата проведено несколько стрелок. Стрелки означают возможные этапы нашего воображаемого путешествия от планеты к планете. Мы должны посетить все планеты, не побывав дважды ни на одной из них. Но на нашей схеме к каждому квадратику проведены 3 или даже более стрелок. Это значит, что всякий раз нам предлагается несколько вариантов передвижения. Но какой вариант выбрать? По какой стрелке пойти?
Верный путь нам подскажет ответ задачи, которую мы решим на каждой планете. К задаче даются от 3 до 8 вариантов ответа. Все они зашифрованы цифрами от1 до3; 5 или 8. Найдя верный ответ, мы получаем руководство к действию, то есть узнаем ту цифру, рядом с которой стоит стрелка, указывающая безошибочное на данном этапе направление движения.
Свое путешествие мы начнем с ближайшей к Солнцу планеты. Это… (Кто знает?) Да, с планеты Меркурий. Мы летим на планету Меркурий: находим карточку, где написана задача про эту планету и решаем ее. Получив ответ, находим его номер среди номеров, предложенных вариантов ответа и продолжим свой путь в направлении, какое указывает стрелкой, стоящей у найденного номера. (Класс разбит на 6 групп по 4 человека в каждой группе и каждая группа выполняет задание.)
Задача планеты Меркурий
Расстояние Меркурия от Солнца составляет приблизительно 
млн км. Но межпланетные расстояния принято считать не в километрах, а в астрономических единицах. Одна астрономическая единица равна расстоянию от Земли до Солнца, т.е.300 млн км. Какую часть астрономической единицы составляет расстояние от Меркурия до Солнца?
Варианты ответов:1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
млн км; 5)
.
Решение:
300
= (частей) стоит под номером 5. От этого номера проведена стрелка к квадрату Сатурн. Значит наше путешествие к планете Сатурн.
Задача планеты Сатурн
По своим размерам Сатурн уступает лишь Юпитеру: ее диаметр – 120000км.
У этой планеты достаточно много спутников. Диаметры наибольших из них, Титана и Реи, составляют соответственно и
части диаметра Сатурна. У кого из спутников диаметр больше.
Варианты ответов: 1) Их диаметры равны; 2) Диаметр Титана больше;
3) Диаметр Реи больше.
Решение: Диаметр Титана больше, так как
и
и значит . Ответ – 2. От него стрелка направлена к квадратику Венера. Летим к этой планете. По силе блеска Венера - третье светило неба, после Солнца и Луны. Венера ближе к Солнцу, чем Земля и ее можно увидеть рядом с Солнцем во время утренней или вечерней зари.
Задача планеты Венера
Планета Венера получает от Солнца много тепла и света. Расчеты показали, что 0,5 венерианского года температура поверхности Венеры равна (240 0 С, 0,3 этого времени температура составляет С, а остальную часть года на Венере «прохладно»
0 С. Какую же часть венерианского года на поверхности планеты температура самая низкая?
Варианты ответов:
1) 0,2; 2); 3) 0.5; 4); 5)- 420 0 C ; 6)450 0 C ; 7) 480 0 C ; 8) 6.
Решение:
(240 0 С=С;
0 С= Год принимается за единицу, тогда 0,5 + 0,3 = 0,8. 1 - 0,8 = 0,2 - под номером 1. Летим к планете Нептун.
Задача планеты Нептун
Земной год (годом называют период обращения планеты вокруг Солнца) равен )суток. А вот год на Нептуне не прожил бы, пожалуй, ни один человек. Год на Нептуне длится
() земного года. За сколько же земных суток Нептун делает полный оборот вокруг Солнца?
Варианты ответов: 1) 60193 ; 2)
; 3)
.
Решение: Земной год составляет суток
год на Нептуне длится() = 164 земного года.
365 164 = 60193 – под номером 1. Мы направляемся к планете Земля.
Задача планеты Земля
По астрономическим меркам, Луна находится совсем недалеко от Земли: до нее всего примерно )км. Сколько секунд займет путешествие от Земли до Луны и обратно, если воспользоваться ракетой, летящей со скоростью, близкой к скорости звука – (
мс?
Варианты ответов:
1) 2 000 000сек; 2)1000000 c ек; 3)2000 сек; 4) 1000 сек; 5)340000 сек.
Решение:
340 000км; 
=340 мс
340 000 км = 340 000 000 м 340 000 000: 340 м/с = 1 000 000 сек. И обратный путь займет столько же времени, значит 2 000 000 сек. Ответ под номером 1. Стрелка к планете Марс.
Задача планеты Марс
Во сколько раз ракета тяжелее на Земле, чем на Марсе, если известно, что один «земной» килограмм весит на Марсе ( кг.
Варианты ответов: 1) в 2,777… раза; 2) в 1,36 раза; 3) в 3,6 раза.
Решение: Переведем в число ( кг = 0,36. Ракета на Земле будет во столько же раз тяжелее, чем на Марсе во сколько 1 кг на Земле тяжелее, чем на Марсе, то есть 1: 0,36 = 2,777… раза.
Ответ зашифрован под номером 1. Летим к Плутону.
Задача планеты Плутон
Плутон делает полный оборот вокруг собственной оси за
Земных суток. Сколько оборотов (ответ округлить до сотых) сделает Плутон за 3 земных года? Земной год составляет
Земных суток.
Варианты ответов: 1) 173,58; 2) 171,48; 3) 777,983;
4) 777,98; 5) 57,160.
Решение:
Плутон делает полный оборот 
) = 6,39
Земной год составляет = 365, 25 суток
365,25 3 = 1095, 75 (земных суток за 3 года). За это время Плутон
1095, 75: 6,39 = 171, 478…Округляем до сотых 171,48. Ответ зашифрован под номером 2. Летим к планете Уран. Эта планета окружена огромным количеством облаков, которые движутся с большими скоростями.
Задача планеты Уран
Облака на этой планете могут мчаться со скоростью от
Км час до скорости, в полтора раза большей. Найти разность между максимальной и минимальной скоростями движения облаков.
Варианты ответов: 1)
кмчас; 2) 248кмчас; 3) кмчас; 4) 251кмчас; 5) 125,15 кмчас.
Решение: Максимальная скорость= 250,3км/час
250,3 1,5 = 375,45 км/ч. Минимальная – 250,3 км/ч. Тогда разность между ними 375,45 – 250,3 = 125,15 км/ч.
Задача планеты Юпитер
Масса планеты Сатурн в 3,3 раза меньше массы планеты Юпитер, масса которого в 20,9 раза больше массы Урана, масса которого в 1,5 раза меньше массы планеты Нептун, масса которого больше массы Венеры в 2 раза. Найти массу планеты Юпитер, если масса Венеры .
Варианты ответов: 1) 11286; 2) 23357; 3) 22987.
Решение: Венера –= 405; значит Нептун – 810; Уран – 540; Юпитер – 540 20,9 = 11286.
Подведем итог путешествию по Солнечной системе в таблице самооценки.
6)Самостоятельная работа(тестовые задания)
.Собрав листы с ответами, ребята обменявшись тетрадями с соседом, проверяют (ответы приводится на слайде 10) и оценивают друг друга, выставляя оценку в таблицу.
7)Данный этап занятия обозначен как «Умение проводить экспертизу», это значит вы должны посчитать итоговую оценку за занятие. Подводят итог.
8)Этап «Найди ошибку» оценивается индивидуально, т.е. кто найдет ошибку в задании, тот и получает дополнительную оценку в журнал. На слайде 11 приводится решение математического софизма.
Логарифмический софизм.
Начнем с неравенства
, бесспорно верного. Затем следует преобразование
, тоже не вызывающее сомнений. Большему значению соответствует больший логарифм, значит,
, т.е.
.
После сокращения на
, имеем 2>3.
Ответ был дан студентом Лапиным Олегом, он догадался, что число
lg = - lg 2 отрицательное и знак неравенства необходимо было поменять на противоположный, тогда 2< 3.
9)Дополнительная информация о логарифмах.
Где в жизни, на практике, в природе, встречаются логарифмы,
которые могут использоваться в повседневной жизни, а также в
каких областях других наук используются логарифмы (использование
презентации, приложение 2). По данному вопросу выступит Владимир Скалий.
III . Заключительный этап
Домашнее задание№14,15,16,17 из дополнительных источников;
Итог занятия: ребята подсчитав средний результат по четырем этапам, получают оценку за занятие. Кто поставил себе за работу на уроке отлично? Хорошо? Кто считает, что ему надо еще повторить этот материал?
Отличившимся студентам выставляется по две оценки.
Заключительное слово преподавателя:
Обратили внимание на лесенку, если вы за нашу пару продвинулись хотя бы на одну ступеньку вверх, т. е. вы узнали что-то новое, то это уже успех!
Так как человек, который сдвинул гору, начинал с того, что перетаскивал с места на место мелкие камни!
Самоанализ открытого занятия.
1.Общая характеристика группы.
Открытое занятие проводилось в группе ЭПСл-13143. Студенты данной группы имеют средний и ниже среднего уровни мотивации к обучению, довольно развитые способности к изучению математики у половины группы, остальная часть группы стараются, делают попытки что- то понять и усвоить.
2.Определение целей, задач урока, формы его проведения.
Результаты проведенного занятия позволяют сделать вывод о правильности выбора целей, определения задач и формы проведения занятия. В ходе занятия были закреплены определение, основные свойства логарифма, освоенные знания были применены для решения конкретных примеров. Применение разнообразных методов способствовало развитию у студентов математического вкуса и интуиции; формированию логики мышления. Форма проведения занятия способствовала развитию культуры научных и учебных взаимоотношений между студентами, между студентами и преподавателем. Решая задания студенты осознали необходимость умения вести дискуссию и излагать свои идеи, грамотно ссылаться на математические факты и понятия. На занятии царила атмосфера сотрудничества.
3.Структура занятия.
Структура занятия находится в полном соответствии с поставленными задачами. Каждый этап занятия являлся полноправной, логически обоснованной и завершенной частью схемы занятия. В ходе занятия были проконтролированы знания студентов теоретического материала по данной теме. В работе по теоретическому материалу основная масса студентов продемонстрировала живой интерес к данной теме. В процессе решения конкретных примеров ребята дискутировали, предлагали свои подходы к решению задач, активно принимались за решение задач, в том числе и предложенных к самостоятельному решению. Всему этому способствовали применяемые методы обучения, используемые на занятии.
4.Итоги урока.
План открытого занятия выполнен полностью; цели урока достигнуты, формы и методы соответствовали поставленным целям. Структура и логика построения занятия способствовали достижению цели. В ходе занятия студенты были включены в активную познавательную деятельность.
Проведенное открытое занятие продемонстрировало заинтересованность студентов, способствовало формированию у каждого из них собственных методов организации научной и учебно-познавательной деятельности.
Результаты обучения ориентированы на самооценку студентов, на формирование адекватной самооценки. На занятии проводилась оценка промежуточных результатов обучения, велась динамика результатов обучения студентов относительно самих себя.
Урок по теме "Логарифм, его свойства".
Чертихина Л.П.
преподаватель
ГБ ПОУ «ВПТ»
"Возьми столько, сколько ты можешь и хочешь,
но не меньше обязательного".
Цели урока:
знать и уметь записывать определение логарифма, основного логарифмического тождества;
уметь применять определение логарифма и основное логарифмическое тождество при решении упражнений;
познакомиться со свойствами логарифмов;
научиться различать свойства логарифмов по их записи;
научиться применять свойства логарифмов при решении заданий;
закрепить вычислительные навыки;
продолжить работу над математической речью.
формировать навыки самостоятельной работы, работы с учебником, навыки самостоятельного добывания знаний;
развивать умение выделять главное при работе с текстом;
формировать самостоятельность мышления, мыслительных операций: сравнение, анализ, синтез, обобщение, аналогия;
показать учащимся роль систематической работы по углублению и повышению прочности знаний, по культуре выполнения заданий;
развивать творческие способности учащихся.
Тип урока: сообщение новых знаний.
Время проведения: 1,5 часа
Оборудование:
таблица свойств логарифмов
карточки-задания;
ПК учителя, мультимедийный проектор;
План урокаОрганизационный момент. 1 мин.
Постановка цели. 1 мин.
Проверка ранее изученного материала 5 мин
Введение понятия логарифм.
Определение логарифма. 5 мин
6.Историческая справка 10 мин
Основное логарифмическое тождество. 10 мин
Основные свойства логарифмов 10 мин
Обобщение и систематизация знаний. 7 мин.
Домашнее задание. 1 мин.
Творческое применение знаний, умений и навыков. 25 мин.
Подведение итогов. 5 мин.
Ребята, сегодня на уроке вам предстоит проверить умения решать простейшие показательные уравнения, чтобы можно было ввести новое для вас понятие, затем познакомимся со свойствами нового понятия; вы должны научиться различать эти свойства по их записи; научиться применять эти свойства при решении заданий.
Будьте собраны, внимательны и наблюдательны. Успехов!
Проверка ранее изученного материала.Учащимся предлагается определить тему урока, решив уравнения
2 х =; 3 х =; 5 х = 1 / 125 ; 2 х = 1 / 4 ;
2 х = 4; 3 х = 81; 7 х = 1 / 7 ; 3 х = 1 / 81
– Назовите новое понятие, с которым мы познакомимся:
– Тема нашего урока “Логарифм и его свойства”. Попробуйте найти корень уравнения 2 х = 5. Ответ данного уравнения мы можем записать с помощью нового понятия. Прочитайте текст слайда и запишите корень уравнения.
4.1. Определение логарифма (слайды 5–7)Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a0, a ≠ 1 называется показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить число b.
1) log 10 100 = 2, т.к. 10 2 = 100 (определение логарифма и свойства степени),
2) log 5 5 3 = 3, т.к. 5 3 = 5 3 (…),
3) log 4 = –1, т.к. 4 –1 = (…).
В записи b=a
t
число a
является основанием степени, t
- показателем, b
- степенью. Число t
-это показатель степени, в которую надо возвести основание a, чтобы получить число b.
Следовательно, t
- это логарифм числа b
по основанию a
: t=log
a
b
.
Подставляя в равенстве t=log
a
b
выражение b
в виде степени, получим еще одно тождество:
log a a t =t .
Можно сказать, что формулы a
t
=b
и t=log
a
b
равносильны, выражают одну и ту же связь между числами a, b
и t
(при a0, a 1, b0
). Число t
- произвольно, никаких ограничений на показатель степени не накладывается.
Подставляя в равенство a
t
=b
запись числа t
в виде логарифма, получаем равенство, называемое основным логарифмическим тождеством
:
=b
.
1) (3 2) log 3 7 = (3 log 3 7) 2 = 7 2 = 49 (степень степени, основное логарифмическое тожество, определение степени),
2) 7 2 log 7 3 = (7 log 7 3) 2 = 3 2 = 9 (…),
3) 10 3 log 10 5 = (10 log 10 5) 3 = 5 3 = 125 (…),
4) 0,1 2 log 0,1 10 = (0,1 log 0,1 10) 2 = 10 2 = 100 (…).
Вы замечательно справились с примерами. А теперь вычислите следующие задания, записанные на доске:
а) log 15 3 + log 15 5 = …,
б) log 15 45 – log 15 3 = …,
в) log 4 8 =…,
г) 7 = … .
А как вы думаете, что мы должны знать, чтобы выполнять действия с логарифмами?
Если у учащихся возникают затруднения, то задать вопрос: “Чтобы выполнять действия со степенями, что надо знать?” (Ответ: “Свойства степени”). Ещё раз задать первоначальный вопрос. (Свойства логарифмов)
Перед вами таблица со свойствами логарифмов. Надо дать название каждому свойству и правильно сформулировать их”.
| Название свойства логарифмов | Свойства логарифмов |
|
| Логарифм единицы. | log a 1 = 0, a 0, a 1. |
|
| Логарифм основания. | log a a = 1, a 0, a 1. |
|
Слайд 2
Цели урока:
Образовательные: Повторить определение логарифма; познакомиться со свойствами логарифмов; научиться применять свойства логарифмов при решении упражнений.
Слайд 3
Определение логарифма
Логарифмом положительного числа b по основанию а,где а >0 и а≠ 1, называется показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b. Основное логарифмическое тождество alogab=b (где a>0, a≠1, b>0)
Слайд 4
История возникновения логарифмов
Слово логарифм происходит из двух греческих слов и оно переводится, как отношение чисел. В течение ХVI в. резко возрос объем работы, связанный с проведением приближенных вычислений в ходе решения разных задач, и в первую очередь задач астрономии, имеющей непосредственное практическое применение (при определения положения судов по звездам и по Солнцу). Наибольшие проблемы возникали при выполнении операций умножения и деления. Попытки частичного упрощения этих операций путем сведения их к сложению большого успеха не приносили.
Слайд 5
Логарифмы необычайно быстро вошли в практику. Изобретатели логарифмов не ограничились разработкой новой теории. Было создано практическое средство – таблицы логарифмов, - резко повысившее производительность труда вычислителей. Добавим, что уже в 1623 г., т.е. всего через 9 лет после издания первых таблиц, английским математиком Д. Гантером была изобретена первая логарифмическая линейка, ставшая рабочим инструментом для многих поколений. Первые таблицы логарифмов составлены независимо друг от друга шотландским математиком Дж. Непером (1550 - 1617) и швейцарцем И. Бюрги (1552 - 1632). В таблицы Непера вошли значения логарифмов синусов, косинусов и тангенсов для углов от 0 до 900 с шагом в 1 минуту. Бюрги подготовил свои таблицы логарифмов чисел, но вышли в свет они в 1620 г., уже после издания таблиц Непера, и поэтому остались незамечеными. Непер Джон (1550-1617)
Слайд 6
Изобретение логарифмов, сократив работу астронома, продлила ему жизнь. П. С. Лаплас Поэтому открытие логарифмов, сводящее умножение и деление чисел к сложению и вычитанию их логарифмов, удлинило по выражению Лапласа, жизнь вычислителей.
Слайд 7
Свойства степени
ах · ау = ах +у = ax –y (x)y = ax·y
Слайд 8
Вычислите:
Слайд 9
Проверьте:
Слайд 10
СВОЙСТВА ЛОГАРИФМОВ
Слайд 11
Применениеизученного материала
а) log 153 + log 155 = log 15(3 · 5) = log 1515 =1,б) log 1545 – log 153 = log 15 = log 1515 = 1 в) log 243 = log 226 = 6 log 22 = 6,г) log 7494 = log 7(72)4 = log 7 78 = 8 log 77 = 8. Стр. 93; № 290,291 - 294, 296* (нечётные примеры)
Слайд 12
Найдите вторую половину формулы
Слайд 13
Проверьте:
Слайд 14
Домашнее задание: 1. Выучить свойства логарифмов 2. Учебник: § 16 стр. 92-93; 3. Задачник: № 290 ,291 ,296 (чётные примеры)
Слайд 15
Продолжите фразу: “Сегодня на уроке я узнал…” “Сегодня на уроке я научился…” “Сегодня на уроке я познакомился…” “Сегодня на уроке я повторил…” “Сегодня на уроке я закрепил…” Урок закончен!
Слайд 16
Используемые учебники и учебные пособия: Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс: учебник профильного уровня / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов и др. – М.: Мнемозина, 2007. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс: задачник профильного уровня / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов и др. – М.: Мнемозина, 2007. Используемая методическая литература: Мордкович А.Г. Алгебра. 10-11: методическое пособие для учителя. – М.: Мнемозина, 2000 (Калининград: Янтарный сказ, ГИПП). Математика. Еженедельное приложение к газете «Первое сентября».
